Multiplicação de um número real por uma matriz - Matemática

No artigo sobre matrizes introduzimos algumas definições preliminares, formas gerais e suas representações. Neste texto, trataremos sobre a multiplicação de números reais por matrizes. Recordando, a forma geral de uma matriz , pode ser escrita como:

$A=[a_{ij}]_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$

Onde m é o número de linhas e n o número de colunas de uma matriz. Note que o elemento a_ij, também chamado de ij-ésima entrada simboliza a posição deste elemento dentro da matriz, ou seja, a₁₁ está posicionado na 1ª linha e na 1ª coluna. O a₂₁ está na 2ª linha e na 1ª coluna e assim por diante.

Considere agora um número real x qualquer. A multiplicação deste número por qualquer matriz A será dada, formalmente por:

$xA=x\cdot\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\cdot a_{11}&x\cdot a_{12}&\cdots&x\cdot a_{1n}\\x\cdot a_{21}&x\cdot a_{22}&\cdots&x\cdot a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x\cdot a_{m1}&x\cdot a_{m2}&\cdots&x\cdot a_{mn}\end{bmatrix}$

Vamos agora mostrar alguns exemplos:

Seja a matriz $A=\begin{bmatrix}1&6\\2&-3\end{bmatrix}$ e x=2, a multiplicação será:

$xA=2A=2\cdot\begin{bmatrix}1&6\\2&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 6\\2\cdot 2&2\cdot (-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&12\\4&6\end{bmatrix}$

Agora seja $A=\begin{bmatrix}1&9\\-1&3\\-2&5\end{bmatrix}$ e $x=\frac{1}{3}$ , temos:

$xA=\frac{1}{3}A=\frac{1}{3}\cdot\begin{bmatrix}1&9\\-1&3\\-2&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&3\\\frac{-1}{3}&1\\\frac{-2}{3}&\frac{5}{3}\end{bmatrix}$

Note que bastou multiplicar cada elemento da matriz pelo número em questão para obtermos o resultado final.