Números complexos

Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar $i = \sqrt{-1}$.

Definição

Quando vamos solucionar equações do tipo $x^2 + 1 = 0$, nos deparamos com $x = \pm \sqrt{-1}$. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação $i^2 = -1$ para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria $x = \pm i$. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma

$z = a + bi$, $a, b\in \mathbb{R}$

Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.

Adição de números complexos

A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam $z_1$ e $z_2$ dois números complexos, tais que: $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c+di$.

Definiremos a adição de $z_1$ e $z_2$ da seguinte forma:

$z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di)$

$z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$

Exemplo:

Se $z_1 = 3+2i$ e $z_2 = 5-3i$ a soma será:

$z_1 + z_2 = (3+5) + (2-3)i$

$z_1 + z_2 = 8-i$

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.

Sejam $z_1$ e $z_2$ dois números complexos, tais que: $z_1 = a+bi$ e $z_2 = c+di$.

Definiremos a subtração de $z_1$ e $z_2$ da seguinte forma:

$z_1 - z_2 = (a+bi) - (c+di)$

$z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$

Exemplo:

Se $z_1 = 7+10i$ e $z_2 = 3+6i$ a diferença será:

$z_1 - z_2 = (7-3) + (10-6)i$

$z_1 - z_2 = 4 - 4i$

Multiplicação de números complexos

Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:

Sejam $z_1$ e $z_2$ dois números complexos, tais que: $z_1 = a+bi$ e $z_2 = c+di$.

Definiremos a multiplicação de $z_1$ e $z_2$ da seguinte forma:

$z_1 \cdot z_2 = (a+bi) \cdot (c+di)$

$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Exemplo:

Se $z_1 = 2+5i$ e $z_2 = 1+3i$ o produto será:

$z_1 \cdot z_2 = (2+5i) + (1+3i)$

$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot 3i$

$z_1 \cdot z_2 = 2 + 6i + 5i + 15i^2$

$z_1 \cdot z_2 = 2 + 6i + 5i + 15 \cdot (-1)$

$z_1 \cdot z_2 = 2 + 6i + 5i -15$

$z_1 \cdot z_2 = (2-15) + (6+5)i$

$z_1 \cdot z_2 = -13 + 11i$

Divisão de números complexos

Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo $z_1 = a+bi$ será $z_1 = a-bi$.

Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.

Sejam $z_1$ e $z_2$ dois números complexos, tais que: $z_1 = a+bi$ e $z_2 = c+di$

Definiremos a divisão de $z_1$ e $z_2$ da seguinte forma:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+bi) \cdot (c-di)}{c^2 - (di)^2}$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac-bd) + (ad+bc)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac-bd}{c^2 + d^2} + \frac{ad+bc}{c^2 + d^2}i$

Exemplo

Se $z_1 = 1+2i$ e $z_2 = 2+3i$ a divisão será:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+2i}{2+3i} \cdot \frac{2-3i}{2-3i}$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(1+2i) \cdot (2-3i)}{2^2 - (3i)^2}$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{8-i}{4+9} =\frac{8-i}{13} = \frac{8}{13} - \frac{1}{13}i$

Argumento e módulo de um número complexo

Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo $z = a+bi$ no Plano de Argand-Gauss:

O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por $\theta$.

Argumento de Z

No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:

$sen(\theta) = \frac{b}{|z|}$

$cos(\theta) = \frac{a}{|z|}$

Sendo $\theta$ o argumento de Z.

Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar $\theta = arcsen(\frac{b}{|z|})$ ou $\theta = arcos(\frac{a}{|z|})$.

Módulo de Z

Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:

$(|z|)^2 = a^2 + b^2$

Então:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Forma trigonométrica de um número complexo

Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.

Considere o número complexo $z = a+bi$, em que z ≠ 0,

Como vimos anteriormente:

$sen(\theta) = \frac{b}{|z|} \Longrightarrow b = |z| \cdot sen(\theta)$

$cos(\theta) = \frac{a}{|z|} \Longrightarrow a = |z| \cdot cos(\theta)$

Substituindo os valores de a e b no complexo $z = a+bi$.

$z = a+bi$

$z = |z| \cdot cos(\theta) + |z| \cdot sen(\theta)i$

$z = |z| \cdot (cos(\theta) + i \cdot sen(\theta))$

Produto de números complexos na forma polar

Considere dois números complexos na forma polar:

$z_1 = |z_1| \cdot (cos(\theta_1) + i \cdot sen(\theta_1))$

$z_2 = |z_2| \cdot (cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_2))$

O produto entre será:

$z_1 \cdot z_2 = [|z_1| \cdot (cos(\theta_1) + i \cdot sen(\theta_1))] \cdot [|z_2| \cdot (cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_2))]$

$z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) + i \cdot sen(\theta_1)) \cdot (cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_2))$

$z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + cos(\theta_1) \cdot i \cdot sen(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_1) \cdot i \cdot sen(\theta_2))$

$z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + i \cdot cos(\theta_1) \cdot sen(\theta_2) + i \cdot sen(\theta_0) \cdot cos(\theta_2) + i^2 \cdot sen(\theta_1) \cdot sen(\theta_2))$

$z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) - sen(\theta_1) \cdot sen(\theta_2) + i (sen(\theta_1) \cdot cos(\theta_2) + sen(\theta_2) \cdot cos(\theta_1)))$

$z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (cos(\theta_1 + \theta_2) + i \cdot sen(\theta_1 + \theta_2))$

Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Exemplo:

Se $z_1 = 2 (cos(\frac{\pi}{6}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{6}))$ e $z_2 = 3 (cos(\frac{\pi}{3}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{3}))$:

$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 (cos(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}))$

$z_1 \cdot z_2 = 6(cos(\frac{\pi}{2}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{2}))$

Potência de um número complexo

Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:

$|z| \cdot |z| \cdot |z| \cdot |z| \cdot \ldots \cdot |z| = (|z|)^n$

e

$\theta + \theta +\theta + \ldots + \theta = n \cdot \theta$

Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:

$z^n = (|z|)^n \cdot (cos(n\theta) + i \cdot sen(n\theta))$

Exemplo:

Calcular $z^3$, sendo $z = 2(cos(\frac{\pi}{4}) + i \cdot sen(\frac{\pi}{4}))$.

$z^3 = 2^3 (cos(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \cdot sen(3 \cdot \frac{\pi}{4}))$

$z^3 = 8 (cos(\frac{3\pi}{4}) + i \cdot sen(\frac{3\pi}{4}))$

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/