Números complexos

Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar .

Definição

Quando vamos solucionar equações do tipo , nos deparamos com . Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria . Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma

,

Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.

Adição de números complexos

A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam  e dois números complexos, tais que:  e .

Definiremos a adição de e da seguinte forma:

Exemplo:

Se e a soma será:

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.

Sejam e dois números complexos, tais que:  e .

Definiremos a subtração de e da seguinte forma:

Exemplo:

Se e a diferença será:

Multiplicação de números complexos

Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:

Sejam e dois números complexos, tais que: e .

Definiremos a multiplicação de e da seguinte forma:

Exemplo:

Se e o produto será:

Divisão de números complexos

Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo será .

Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.

Sejam e dois números complexos, tais que: e

Definiremos a divisão de e da seguinte forma:

Exemplo

Se e a divisão será:

Argumento e módulo de um número complexo

Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo no Plano de Argand-Gauss:

O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por .

Argumento de Z

No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:

Sendo o argumento de Z.

Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar ou .

Módulo de Z

Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:

Então:

Forma trigonométrica de um número complexo

Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.

Considere o número complexo , em que z ≠ 0,

Como vimos anteriormente:

Substituindo os valores de a e b no complexo .

Produto de números complexos na forma polar

Considere dois números complexos na forma polar:

O produto entre será:

Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Exemplo:

Se e :

Potência de um número complexo

Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.

Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:

e

Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:

Exemplo:

Calcular , sendo .