Operações com conjuntos

Complementar de um conjunto

Dados dois conjuntos A e B, tais que o conjunto B ⊂ A chama-se complementar de B em relação a A, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Com o símbolo $C^{B}_{A}$ indicamos o complementar de B em relação a A.

Notemos que $C^{B}_{A}$ só é definido para B ⊂ A, e aí temos:

$C^{B}_{A} = A-B$

Exemplos

1º) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então: ${C}_{A}^{B}=\lbrace a,b\rbrace$

2º) Se A = {a, b, c, d} = B, então: ${C}_{A}^{B}=$

3º) Se A = {a, b, c, d} e B = $\emptyset$, então: ${C}_{A}^{B}=\left\lbrace a,b,c,d\right\rbrace =A$

Propriedades da complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:

1ª) ${C}_{A}^{B}\cap B=\emptyset$ e ${C}_{A}^{B}\cup B=A$

2ª) ${C}_{A}^{A}=\emptyset$ e ${C}_{A}^{\emptyset}=A$

3ª) ${C}_{A}\left({C}_{A}^{B}\right)=B$(complementar em relação a A do complementar de B em relação a A)

4ª) ${C}_{A}^{\left(B\cap C\right)}={C}_{A}^{B}\cup {C}_{A}^{C}$

5ª) ${C}_{A}^{\left(B\cup C\right)}={C}_{A}^{B}\cap {C}_{A}^{C}$

Reunião ou união de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

$A\cup B=\{x/x\in A|\text{ou }x\in B\}$

O conjunto $A\cup B$ (lê-se: “ A reunião B ou “ A união B”) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B.

Notemos que x é elemento de $A\cup B$ se ocorre ao menos uma das condições seguintes:

$x\in A\text{ ou }x\in B$

Exemplos

1º) {a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d}

2º) {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d}

3º) {a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e}

4º) {a, b, c} ∪ ∅ = {a, b, c}

5º) ∅ ∪ ∅= ∅

Propriedades da reunião

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1ª) A ∪ A = A (idempotente)

2ª) A ∪ ∅ = A(elemento neutro)

3ª) A ∪ B = B ∪ A (comutativa)

4ª) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)

Interseção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}

O conjunto A ∩ B (lê-se: “ A interseção com B ou “ A inter B”) é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B) simultaneamente.

Se $x\in A\cap B$, isso significa que x pertence a A e também pertence a B. O conectivo “e” colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas simultaneamente.

x ∈ A e x ∈ B

Exemplos

1º) {a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c}

2º) {a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b}

3º) {a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c}

4º) {a, b} ∩ {c, d} = ∅

5º) {a, b} ∩ ∅ = ∅

Propriedades da interseção

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1ª) A ∩ A = A (idempotente)

2ª) A ∩ U = A (elemento neutro; U = conjunto Universo)

3ª) A ∩ B = B ∩ A (comutativa)

4ª) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa)

Diferença de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se '''diferença entre '''A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

A−B = { x / x ∈ A e x ∉ B}

Exemplos

1º) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a}

2º) {a, b, c} - {b, c} = {a}

3º) {a, b} - {c, d, e, f} = {a, b}

4º) {a, b} - {a, b, c, d, e} = ∅

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-conjuntos/