Princípio fundamental da contagem

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

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No dia-a-dia estamos interessados em contar o número de maneiras que um experimento ou experiência pode ser realizado.

Por exemplo:

De quantas maneiras podemos organizar uma fila com 4 pessoas?
Quantas senhas com 3 dígitos podemos formar usando os dígitos ímpares do sistema decimal?
De quantas maneiras podemos entrar e sair de um estádio de futebol que possui 5 portões?
De quantas maneiras diferentes podemos pintar uma bandeira de 3 listras, usando as cores amarela ou verde?

Uma maneira simples de obter o total de possibilidades de um experimento acontecer é descrever todas as opções possíveis e fazer a contagem direta. Entretanto, isso nem sempre é viável porque o número de possibilidades pode ser tão grande que se torna impraticável a contagem direta dos resultados.

Por exemplo:

De quantas maneiras diferentes um candidato pode “chutar” todas as questões de um teste com 10 questões do tipo V ou F?
Um estádio de futebol possui 6 portões. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar no estádio e sair dele por um portão diferente do que usou para entrar?

Para essas situações, usamos o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades.

Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento. Para entendermos melhor, observe o infográfico abaixo:

Observe o seguinte problema:

Três atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares?

Resolução:

Cada resultado consta como uma “tripla ordenada” (A, B, C) onde A representa o atleta que chegou em 1º lugar, B o que chegou em 2º, e C o que chegou em 3º.

A, B e C pertencem ao conjunto dos atletas e A ≠ B, A ≠ C e B ≠ C.

Podemos obter as sequências possíveis, usando o diagrama de árvore.

Pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o resultado procurado é: 3 . 2. 1 = 6

Exercícios resolvidos

1º) Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

Resolução:

Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas sucessivas, a saber:

1ª) escolha do algarismo das centenas: temos seis possibilidades;
2ª) escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim, há cinco possibilidades;
3ª) escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois anteriores (centena e dezena). Assim, há apenas quatro possibilidades.

Aplicando o princípio fundamental da contagem (PFC), temos: 6 x 5 x 4 = 120 números.

2º) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida?

Resolução:

Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F.

3º) Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

Resolução:

Observe que, além do princípio multiplicativo também usamos o princípio aditivo, pois ou o número termina em zero ou o número não termina em zero.

Observação:

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) fornece-nos o instrumento básico para a resolução de problemas de contagem, entretanto, sua aplicação pode, às vezes, tornar-se muito trabalhosa.

Alguns problemas de contagem são mais complexos e devem ser resolvidos adotando-se novas técnicas de contagem. Se faz necessária a distinção entre os diferentes tipos de agrupamentos, que constituem sequências de elementos pertencentes a um conjunto dados. A partir da compreensão desses agrupamentos e, usando os princípios aditivos e multiplicativo, podemos deduzir fórmulas que permitem a contagem dos mesmos, em cada caso particular a ser estudado. Vale lembrar que as fórmulas deverão ser interpretadas como atalhos para a obtenção do resultado final.

Os principais tipos de agrupamentos são: arranjos, permutações e combinações.