Exercícios - Progressão aritmética

Quantos termos a soma 5+ 7+ 9+ 11+⋯ deve ter para que o total seja 2700 ?

Considere uma progressão aritmética (a₁, a₂, ... ,a₅₀) de razão r tal que a₁=5 e a₅₀=295. Uma segunda progressão aritmética é formada a partir desta primeira (b₁, b₂, ... ,b₄₉) tal que b_k = (a_k + a_k+1)/2. De maneira análoga, com base nesta última, formamos uma terceira progressão aritmética (c₁, c₂, ... , c₄₈) tal que c_k = (b_k + b_k+1)/2. E assim seguimos formando uma progressão aritmética nova, a partir da anterior, sempre com um termo a menos e cujos termos são sempre média aritmética de termos sucessivos da progressão aritmética anterior, até que a última progressão tenha apenas dois termos. Se calcularmos a soma dos termos de cada uma dessas progressões aritmética e posteriormente somarmos todos esses números teremos o valor:

Contra todas as recomendações de especialistas, uma pessoa resolveu guardar dinheiro embaixo do colchão. Começando com R$ 100,00 no primeiro mês e aumentando o valor a ser guardado em R$ 20,00 a cada mês. O último valor a ser guardado e a quantia acumulada embaixo do colchão, no final de quatro anos serão, respectivamente:

Uma espécie de espiral é composta por segmentos de reta ligados por suas extremidades de modo que os comprimentos dos segmentos e os ângulos formados estejam ambos em progressão aritmética. A Figura 2 é um exemplo desta espiral.

Considere uma espiral deste tipo com a razão da PA formada pelos comprimentos dos segmentos igual -12 e a razão da PA formada pelos ângulos B, C, D, E, … igual a -10, com B igual a 130 graus. Sabendo-se que o segmento EG mede 60 cm, a medida do segmento AB é igual a: