Radiciação - Matemática

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Para iniciar os estudos sobre radiciação, vamos introduzir o conceito de radicais. Seja a igualdade $b^n=a$ dizemos que b é a raiz enésima de a, ou seja:

$b^n=a\longrightarrow\sqrt[n]{a}=b$

O símbolo $\sqrt{\hspace{0.5cm}}$ é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice. Em outro caso, se b=2, b é a raiz quadrada de a. Se b=3, b é a raiz cúbica de a. Abaixo, alguns exemplos:

$\sqrt{9}=3\rightarrow 3^2=9$
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}\rightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}$
$\sqrt[3]{-125}=-5\rightarrow (-5)^3=-125$
$\sqrt{-144}$ não é um número real. Não existe um número real que quando elevado ao quadrado nos retorne um valor negativo.

Veja abaixo as condições de existência dos radicais:

Condição de existência de radicais

Raízes com índices pares de números negativos não existem nos reais:

$\sqrt[n]{-a}=\emptyset$ para n=2, 4, 6, ...

Já com índices impares é possível. No caso:

$\sqrt[n]{-a}\neq\emptyset$ para n=3, 5, 7, ...

Propriedades da radiciação

1. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

2. $(\sqrt[n]{a})^n=\sqrt[n]{a^n}=a$

3. $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

4. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} =\sqrt[n\cdot m]{a}$

5. $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$

6. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\rightarrow (b\neq 0)$

7. $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[m]{b}=\sqrt[n\cdot m]{a^m\cdot b^n}$

8. $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\frac{\sqrt[n\cdot m]{a^m}}{\sqrt[n\cdot m]{b^n}}=\sqrt[n\cdot m]{\frac{a^m}{b^n}}$

9. $\frac{x}{\sqrt[n]{a}}=\frac{x\cdot\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}\rightarrow (a\neq 0)$

10. $\frac{x}{\sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b}}=\frac{x(\sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b})}{a-b}$

Repare na propriedade (9). Este processo consiste em retirar as raízes do denominador das frações, que é o que chamamos de racionalização. Quando um denominador está na forma $\sqrt[n]{a}$ devemos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt[n]{a^{n-1}}$ .

Calculando o valor de raízes

O método mais comum para calcular raízes de qualquer índice é aquele em que decompomos o radicando como um produto de fatores primos. Vamos por exemplo calcular a raiz quadrada de 16:

Se decompormos o 16 em um produto de fatores primos obtemos:

16 = 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴

Logo podemos dizer que:

$\sqrt{16}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\sqrt{2^4}$