Raiz quadrada de números decimais

Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade $b^2=a$ dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:

$b^2=a\rightarrow\sqrt{a}=b$

O símbolo $\sqrt{\hspace{0.5cm}}$ é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice.

Propriedades de radiciação

1. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

2. $(\sqrt[n]{a})^n=\sqrt[n]{a^n}=a$

3. $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

4. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} =\sqrt[n\cdot m]{a}$

5. $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$

6. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\rightarrow (b\neq 0)$

7. $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[m]{b}=\sqrt[n\cdot m]{a^m\cdot b^n}$

8. $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\frac{\sqrt[n\cdot m]{a^m}}{\sqrt[n\cdot m]{b^n}}=\sqrt[n\cdot m]{\frac{a^m}{b^n}}$

9. $\frac{x}{\sqrt[n]{a}}=\frac{x\cdot\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}\rightarrow (a\neq 0)$

10. $\frac{x}{\sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b}}=\frac{x(\sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b})}{a-b}$

Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2.

Calculando o valor de raízes

Exemplo 1) Vamos calcular o valor de $\sqrt{1,44}$.

O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração:

Então, se seguirmos a propriedade (6), temos:

$\sqrt{\frac{144}{100}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}}=\frac{12}{10}=1,2$

Exemplo 2) Calcule $\sqrt{0,09}$.

Transformando em fração: $0,09=\frac{9}{100}$.

Então: $\sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}=0,03$.

Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada:

$\sqrt{0,4444...}$ ou $\sqrt{0,\overline{4}}$

Ao calcularmos a fração geratriz de $\sqrt{0,\overline{4}}$ obtemos:

$0,\overline{4}=\frac{4}{9}$

Então:

$\sqrt{0,\overline{4}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}=0,6666... \text{ ou }0,\overline{6}$

Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular:

$\sqrt{0,999...}$ ou $\sqrt{0,\overline{9}}$

Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

$0,\overline{9}=\frac{9}{9}=1$

Então:

$\sqrt{0,\overline{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1$

Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1.

Referências Bibliográficas

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/raiz-quadrada-de-numeros-decimais/