As regras de derivação são formas de generalizar a derivada de algumas funções. Elas são muito úteis quando, ao resolver um exercício, por exemplo, podemos identificar a forma que a sua expressão assume. Por exemplo: uma função pode ser resultado da soma de duas outras, ou o produto, a razão. Vamos mostrar mais adiante essas estruturas, mas antes, vamos relembrar a definição de derivação:
Definição: Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto do seu domínio. O limite:
quando existe e é finito, o chamamos de derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝). Ou seja:
Se 𝑓 admite derivada em 𝑝, então dizemos que 𝑓 é diferenciável ou derivável em𝑝.
Exemplo 1 - Soma de duas funções:
Como dito anteriormente, a expressão de uma função pode ter algumas formas que podemos identificar com facilidade. Por exemplo, a função abaixo,
pode ser obtida pela soma de duas funções, ambas de 𝑥, ou seja:
O que nos traz:
Por uma questão de praticidade, podemos chamar a função 𝑢(𝑥) apenas de 𝑢 e a função 𝑣(𝑥) apenas de 𝑣. Agora podemos nos perguntar: Como derivar uma função em que sua expressão é sempre a soma de duas ou mais funções? Vamos generalizar:
Sejam 𝑢 e 𝑣 diferenciáveis em 𝑝, então 𝑢 + 𝑣 também é diferenciável em 𝑝. Logo, por definição podemos escrever:
E, calculando esta derivada desta função num ponto 𝑝, a partir da definição de derivação, temos:
Como podemos ver:
A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas.
Exemplo 2 - Um número real multiplicado por uma função:
Agora, vamos considerar uma função que esteja sendo multiplicada por um número real 𝛼. Por exemplo:
Podemos representar essa expressão da seguinte maneira:
Logo:
Utilizando a definição para calcular a derivada num ponto 𝑝 de funções desse tipo, temos:
Existem diversas outras regras de derivação, sendo que todas elas podem ser obtidas a partir da definição formal da derivada de uma função. Abaixo uma lista com as regras mais utilizadas:
Produto de duas funções:
Divisão de duas funções:
Algumas derivadas elementares:
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.