Resolução de sistemas lineares

Para começarmos a exemplificar as soluções de sistemas lineares, vamos apresentar de uma forma genérica o conceito de sistema linear e, posteriormente alguns casos genéricos de como resolvê-los. Recomenda-se também a leitura do artigo sobre Sistemas de Equações.

É chamado de sistema de equações lineares (ou apenas sistemas lineares) um conjunto de duas ou mais equações lineares. A forma geral de um sistema linear é dada por:

Onde os termos acima:

• x₁, x₂, x₃, .... x_n são as incógnitas do sistema;
• a₁₁, a₁₂, ... a_mn são as variáveis dependentes, ou coeficientes do sistema;
• b₁, b₂, ..., b_m são os termos independentes, as constantes.

Note que também é possível escrever um sistema na forma de um produto de matrizes. Sendo assim, dizemos que um sistema de equações lineares pode ser expresso por:

Dadas as matrizes A, X e B tais que:

O produto A.X = B será:

Sendo assim, vamos agora apresentar os métodos mais utilizados para encontrarmos os valores das incógnitas dos sistemas lineares.

Método da Adição

É um método de solução de sistemas lineares mais empregado quando temos duas equações e duas incógnitas. Ele basicamente consiste em somar as equações a fim de cancelarmos uma variável no sistema. A melhor forma de mostrarmos esse método é com um exemplo:

Note que se fizermos soma dos termos da primeira com a segunda equação, obtemos:

O que resulta em:

Encontramos o valor para a variável 𝑥, agora, substituindo o valor de 𝑥 na segunda equação obtemos:

Dizemos então que o conjunto solução desta equação é:

S: (x, y) = (3, -2)

Método da Eliminação de Gauss ou Escalonamento

Este método é a melhor opção quando lidamos com sistemas lineares com mais de 2 equações, mas neste artigo trataremos apenas para o caso de 3 equações com 3 incógnitas. Ele consiste basicamente em tentar eliminar a primeira incógnita de todas as equações, exceto as duas primeiras, e assim sucessivamente, adicionando ou subtraindo em cada passo e a cada equação com uma incógnita a eliminar um múltiplo de outra operação. Vamos exemplificar resolvendo o sistema abaixo:

1º) Multiplique por 2 a primeira equação e subtraia esse resultado da segunda equação obtemos:

2º) Agora, multiplicando por 3 a primeira equação e subtraindo da terceira equação, temos:

3º) Por fim, se dividirmos por 3 a segunda equação e subtrairmos deste resultado a terceira equação, encontraremos um sistema escalonado:

Como encontramos agora uma igualdade direta para o valor da variável 𝑧 basta fazer as substituições nas equações para encontrar os valores de 𝑥 e 𝑦, o que resulta em:

Podemos generalizar a forma de um sistema escalonado como:

Regra de Cramer

A regra de Cramer é uma técnica de solução de sistemas lineares onde basicamente trabalhamos com determinantes de matrizes. Vamos generalizar:

Seja o sistema linear de 3 incógnitas e 3 equações:

Podemos dizer que:

Onde A é a matriz dos coeficientes, X é a das incógnitas e B é a dos termos independentes.

O método de Cramer, inicialmente exige que façamos o determinante da matriz dos coeficientes, chamaremos esse determinante de D:

Calculado este determinante temos que se 𝐷 ≠ 0 então o sistema linear tem solução, ou seja, é possível e determinado, mas, se 𝐷 = 0 não podemos prosseguir com a regra de Cramer. Continuando, devemos agora calcular os determinantes para encontrarmos um valor para as variáveis do sistema, que são obtidos substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada pela coluna da matriz dos termos independentes, ou seja:

Por fim, para de fato determinarmos o valor de cada incógnita, devemos fazer a razão entre os determinantes obtidos pela substituição na matriz dos coeficientes pelo determinante da matriz dos coeficientes, ou seja:

Vamos exemplifica este método no sistema abaixo:

Escrevendo na forma de um produto de matrizes, temos:

Calculando o determinante 𝐷:

E agora, os determinantes obtidos pela substituição:

E, por fim, substituindo nas razões que nos determinam as variáveis do sistema, obtemos:

Logo, a solução do sistema é:

Referências Bibliográficas:

COELHO, Flávio U; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013

LIPSON, Marc; SEYMOUR, Lipschutz. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011

BARREIRA, Luís; VALLS, Claudia. Álgebra Linear: Exercícios. São Paulo: Livraria da Física, 2012.