Resumo sobre Matrizes

É chamada de matriz uma tabela retangular composta por escalares, onde chamamos estes escalares de entradas ou elementos. Inicialmente, apresentaremos alguns exemplos importantes sobre matrizes de forma generalizada.

De uma forma geral, seja uma matriz A, podemos representá-la como:

$A=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

Onde m é o número de linhas en o número de colunas de uma matriz. Note que o elemento ${a}_{\mathit{ij}}$, também chamado de ''ij-ésima entrada ''simboliza a posição deste elemento dentro da matriz, ou seja, ${a}_{11}$ está posicionado na 1ª linha e na 1ª coluna. O ${a}_{21}$ está na 2ª linha e na 1ª coluna e assim por diante. Uma matriz também pode ser representada da forma compacta:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}$

Matriz Linha e Coluna

É chamada de matriz linha, aquela que é composta apenas por uma linha, ou seja, m=1. De modo geral:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{1\times n}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& \dots \end{array}{a}_{1n}\right)$

A matriz coluna, como diz o nome, é composta apenas por uma coluna. Sendo assim, n=1:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times 1}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\right)$

Matriz Quadrada

Dizemos que é quadrada a matriz onde o número de linhas é igual ao de colunas, m=n. Neste caso, podemos representar de forma compacta:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{n\times n}={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{n}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{n1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{n2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{nn}}\end{array}\right)$

Onde n é chamado de ordem da matriz. Note que se o termo “ordem da matriz” é utilizado, então necessariamente ela é quadrada. Vejamos alguns exemplos:

Matriz Nula

Uma matriz nula é uma matriz, de qualquer dimensão ou ordem, onde todos os seus elementos são compostos apenas por zeros, ou seja:

$A={\left\lbrack 0\right\rbrack }_{m\times n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$

Matriz Diagonal

A matriz diagonal é aquela, seja de qualquer ordem (quadrada), onde os elementos que não compõe a diagonal principal, são zeros. Isto é, seja a matriz $A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{n}$, $\text{se }i\ne j\rightarrow {a}_{\mathit{ij}}=0$, logo:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{n}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ 0\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{nn}}\end{array}\right)\leftrightarrow \text{se }i\ne j\rightarrow {a}_{\mathit{ij}}=0$

Matriz Identidade ou Unitária

A matriz identidade, simbolizada por I, é uma matriz diagonal onde os seus elementos da diagonal principal são compostos apenas pelo número 1:

$I=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ 1\\ \vdots \\ 0\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots \\ 1\end{array}\right)\leftrightarrow \lbrace \begin{array}{c}\text{se }i\ne j\rightarrow {a}_{\mathit{ij}}=0\\ \text{se }i=j\rightarrow {a}_{\mathit{ij}}=1\end{array}$

Igualdade de Matrizes

Suponha duas matrizes A e B, tal que A=B. Dizemos que uma matriz só é igual à outra se, e somente se, ambas tiverem as mesmas dimensões e os seus elementos correspondentes sejam iguais. De modo formal escrevemos:

${\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}={\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ {b}_{21}\\ \vdots \\ {b}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}\\ {b}_{22}\\ \vdots \\ {b}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1n}\\ {b}_{2n}\\ \vdots \\ {b}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

Transposta de Matrizes

A transposta de uma matriz (ou matriz transposta) é aquela que é obtida quando escrevemos as colunas de uma matriz, na mesma ordem, como uma linha. De uma maneira simples: O que é linha se torna coluna e o que é coluna se torna linha. Formalmente escrevemos:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}\rightarrow {A}^{T}={\left\lbrack {a}_{\mathit{ji}}\right\rbrack }_{n\times m}$

Matrizes Simétricas

Uma matriz é chamada de simétrica quando ela é igual a sua transposta:

$A={A}^{T}\rightarrow {\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}={\left\lbrack {a}_{\mathit{ji}}\right\rbrack }_{n\times m}$

Adição e Subtração de Matrizes

Para que seja possível a soma ou a subtração de duas matrizes, por exemplo, A e B, é necessário que elas possuam a mesma dimensão (ou ordem), ou seja, o número de linhas e de colunas de A devem ser os mesmos de B. Vamos escrever esta soma de um modo geral:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

$B={\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}=\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ {b}_{21}\\ \vdots \\ {b}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}\\ {b}_{22}\\ \vdots \\ {b}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1n}\\ {b}_{2n}\\ \vdots \\ {b}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

$A\pm B=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)\pm \left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ {b}_{21}\\ \vdots \\ {b}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}\\ {b}_{22}\\ \vdots \\ {b}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1n}\\ {b}_{2n}\\ \vdots \\ {b}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

Agora, a soma ou a subtração das matrizes será obtida somando (ou subtraindo) os elementos correspondentes de A e de B, ou seja:

$A\pm B=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\pm {b}_{11}\\ {a}_{21}\pm {b}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\pm {b}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\pm {b}_{12}\\ {a}_{22}\pm {b}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\pm {b}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\pm {b}_{1n}\\ {a}_{2n}\pm {b}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\pm {b}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

Multiplicação de Número real por Matriz

Considere agora um número real x qualquer. A multiplicação deste número por qualquer matriz A será dada, formalmente por:

$\mathit{xA}=x\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x\cdot a}_{11}\\ {x\cdot a}_{21}\\ \vdots \\ {x\cdot a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{x\cdot a}_{12}\\ {x\cdot a}_{22}\\ \vdots \\ {x\cdot a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{x\cdot a}_{1n}\\ {x\cdot a}_{2n}\\ \vdots \\ {x\cdot a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

Matriz Oposta

A oposta de uma matriz A é obtida quando multiplicamos A por -1, ou simplesmente trocamos o sinal de seus elementos:

$-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

$-1\cdot A=\left(\begin{array}{c}{-1\cdot a}_{11}\\ {-1\cdot a}_{21}\\ \vdots \\ {-1\cdot a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{-1\cdot a}_{12}\\ {-1\cdot a}_{22}\\ \vdots \\ {-1\cdot a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{-1\cdot a}_{1n}\\ {-1\cdot a}_{2n}\\ \vdots \\ {-1\cdot a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$

Referências bibliográficas:

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/resumo-sobre-matrizes/