Semelhança de triângulos - Geometria - Matemática

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

$\triangle ABC \sim \triangle DEF \begin{cases}\hat{A} = \hat{D} \\ \hat{B} = \hat{E}, \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \\ \hat{C} = \hat{F} \end{cases}$

O símbolo $\sim$ significa “semelhante”.

Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Razão de semelhança

A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança.

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$

Exemplo:

Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes:

Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais.

Note que $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{6}{3} = 2$ .

A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo.

$\triangle ABC \sim \triangle ABC$

2. simétrica: se $\triangle ABC$ o é semelhante ao $\triangle DEF$ , então o $\triangle DEF$ é semelhante ao $\triangle ABC$ .

$\triangle ABC \sim \triangle ABC \Longleftrightarrow \triangle DEF \sim \triangle ABC$

3. transitiva: se o $\triangle ABC$ é semelhante ao $\triangle DEF$ , e $\triangle DEF$ é semelhante a outro $\triangle JKL$ , então o $\triangle ABC$ é semelhante ao $\triangle JKL$ .

$\begin{cases}\triangle ABC \sim \triangle DEF \\ \triangle DEF \sim \triangle JKL \end{cases} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle JKL$

Teorema fundamental

Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes.

Casos de semelhança

Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada.

Caso AA (Ângulo, Ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

$\begin{cases}\hat{B} \equiv \hat{E} \\ \hat{C} \equiv \hat{F} \end{cases} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF$

Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes.

$\begin{cases}\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} \\ \hat{B} \equiv \hat{F} \end{cases} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF$

Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais.

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF$

Razão entre áreas

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles.

Observe a pequena demonstração:

A área do triângulo ABC será: $A_{ABC} = \frac{BC \cdot AM}{2}$ .

A área do triângulo DEF será: $A_{DEF} = \frac{EF \cdot DN}{2}$ .

Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos:

$\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \frac{\frac{BC \cdot AM}{2}}{\frac{EF \cdot DN}{2}} = \frac{BC \cdot AM}{2} \cdot \frac{2}{EF \cdot DN} = \frac{BC \cdot AM}{EF \cdot DN}$

Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que $\frac{BC}{EF} = \frac{AM}{DN} = k$ .

Assim:

$\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \frac{BC \cdot AM}{EF \cdot DN} = \frac{BC}{EF} \cdot \frac{AM}{DN} = k \cdot k = k^2$

Portanto, teremos que:

$\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = k^2$

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF \Longleftrightarrow \begin{cases}\hat{A} \equiv \hat{D} \\ \hat{B} \equiv \hat{E} \\ \hat{C} \equiv \hat{F} \end{cases}$ e $AB \equiv DE, AC \equiv DF, BC \equiv EF$ .