Sistemas de equações de 2º grau

Se você está familiarizado com equações do 2º grau e com sistemas de equações, então podemos unir os dois conceitos num só, o que nos possibilita a resolução de sistemas de equações do 2º grau. Não é difícil resolver um sistema desta forma, mas vale lembrar que o conhecimento da Fórmula de Bhaskara e o de resolução de sistemas lineares serão importantes.

$ax^2+bx+c=0$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta=b^2-4ac$

Vamos aos exemplos:

Exemplo 1) Vamos encontrar uma solução para o sistema abaixo:

$\begin{cases}x+2y=12\\x\mathrm{{^2}}+2y=42\end{cases}$

Multiplicando a primeira equação do sistema por (-1), temos, pelo método da adição:

$\begin{cases}-x-2y=-12\\x\mathrm{{^2}}+2y=42\end{cases}$

$x\mathrm{{^2}}-x=30$

$x\mathrm{{^2}}-x-30=0$

Resolvendo a equação resultante, obtemos:

$\Delta=b\mathrm{{^2}}-4\mathit{ac}$

$\Delta=\left(-1\right)\mathrm{{^2}}-4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-30\right)$

$\Delta=121$

E calculando as raízes:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{121}}{2}$

$x=\frac{1\pm 11}{2}\Rightarrow \begin{cases}x_1=6\\x_2=-5\end{cases}$

Como temos 2 valores para x devemos substituir cada um deles no sistema, então substituindo ${x}_{1}=6$ na primeira equação para encontrarmos ${y}_{1}$, temos:

$x+2y=12$

$6+2y=12$

$2y=6$

${y}_{1}=3$

E substituindo ${x}_{2}=-5$ para encontrarmos ${y}_{2}$:

$x+2y=12$

$-5+2y=12$

$2y=17$

${y}_{2}=\frac{17}{2}$

A solução desse sistema é:

$S=\left\lbrace \left({x}_{1},{y}_{1}\right);\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\right\rbrace =\left\lbrace \left(\mathrm{6,3}\right);\left(-\mathrm{5,}\frac{17}{2}\right)\right\rbrace$

Exemplo 2) Agora, para o sistema abaixo:

$\begin{cases}\mathit{xy}-x=3\\x-2y=-1\end{cases}$

Se fizermos a seguinte manipulação:

$x-2y=-1$

$y=\frac{1+x}{2}$

E substituirmos na primeira equação, temos:

$x\left(\frac{1+x}{2}\right)-x=3$

$x\mathrm{{^2}}-x-6=0$

Resolvendo:

$\Delta=b\mathrm{{^2}}-4\mathit{ac}$

$\Delta=\left(-1\right)\mathrm{{^2}}-4\cdot\left(1\right)\cdot \left(-6\right)$

$\Delta=25$

E calculando as raízes:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{25}}{2}$

$x=\frac{1\pm 5}{2}\Rightarrow \begin{cases}{x}_{1}=3\\{x}_{2}=-2\end{cases}$

Substituindo ${x}_{1}=3$ na primeira equação para obtermos ${y}_{1}$:

$\mathit{xy}-x=3$

$3y-3=3$

$3y=6$

${y}_{1}=2$

E agora ${x}_{2}=-2$para obtermos ${y}_{2}$:

$\mathit{xy}-x=3$

$-2y-\left(-2\right)=3$

$2y=-1$

${y}_{2}=\frac{-1}{2}$

A solução desse sistema é:

$S=\left\lbrace \left({x}_{1},{y}_{1}\right);\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\right\rbrace =\left\lbrace \left(\mathrm{3,2}\right);\left(-\mathrm{2,}\frac{1}{2}\right)\right\rbrace$

Referências bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/sistemas-de-equacoes-de-2o-grau/