Teorema de Laplace

O teorema de Laplace nos traz uma forma generalizada para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para isso, recordemos o conceito de determinante de uma matriz.

Em resumo, o determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada a um escalar. Ou seja, o determinante transforma a matriz em um número.

Segue abaixo a definição formal do teorema de Laplace:

Seja M_n(K) o conjunto das matrizes quadradas (quando o número de linhas n for igual ao número de colunas) definida sobre um conjunto K,  e uma matriz A onde $A\in M_n (K)$, o determinante da matriz A, fixando a sua linha i ou a sua coluna j será dado por:

$det A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot(det A_{ij})$

Em outras palavras: O determinante da matriz $A\in M_n (K)$ é igual à soma algébrica do produto dos elementos de uma linha i ou de uma coluna j pelos seus respectivos cofatores $A_{ij}=(-1)^{i+j}(det A_{ij})$.

Exemplo 1: Vamos calcular o determinante de uma matriz $A\in M_3 (\mathbb{R})$, dada por:

$A=\left[\begin{array}{lcr}1&3&-1\\0&2&-4\\1&0&5\end{array}\right]$

1º passo) Escolha uma linha ou uma coluna para fixar, por exemplo, a primeira linha;

2º passo) Identifique quais são os elementos da linha escolhida, que são:

• a₁₁ = 1
• a₁₂ = 2
• a₁₃ = -1

3º passo) Imagine que se selecionarmos cada elemento da nossa linha e excluir a linha e a coluna que ele pertence. Vemos que sobrará uma matriz menor, de ordem 2, veja abaixo:

Esta matriz resultante da eliminação da linha e da coluna correspondente ao termo é a nossa matriz:

$A_{11}=\left[\begin{array}{lr}2&-4\\0&5\end{array}\right]$

4º passo) Repetindo o 3º passo para os outros elementos da linha veremos que as matrizes resultantes das eliminações serão, em função dos termos a₁₂ e a₁₃:

$A_{12}=\left[\begin{array}{lr}0&-4\\1&5\end{array}\right]$

$A_{13}=\left[\begin{array}{lr}0&2\\1&0\end{array}\right]$

Calculando os determinantes das matrizes resultantes acima pelo método de Sarrus, temos que:

$det A_{11}=\left[\begin{array}{lr}2&-4\\0&5\end{array}\right]=(2\cdot 5)-(-4\cdot 0)=10$

$det A_{12}=\left[\begin{array}{lr}0&-4\\1&5\end{array}\right]=(0\cdot 5)-(-4\cdot 1)=4$

$det A_{13}=\left[\begin{array}{lr}0&2\\1&0\end{array}\right]=(2\cdot 1)-(0\cdot 0)=2$

5º passo) Agora, calculando o somatório com a nossa 1ª linha, i = 1, fixada:

$det A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot(det A_{ij})$

$det A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{1+j}\cdot a_{1j}\cdot(det A_{1j})$

$det A=(-1)^{1+j}\cdot a_{11}\cdot(det A_{11})+(-1)^{1+2}\cdot a_{12}\cdot(det A_{12})+(-1)^{1+3}\cdot a_{13}\cdot(det A_{13})$

Como já temos todos estes valores, agora só nos resta calcular o valor do determinante:

$det A=(-1)^2 \cdot 1 \cdot 10 +(-1)^3 \cdot 2 \cdot 4+(-1)^4 \cdot (-1)\cdot 2$

$det A = 10 - 8 - 2 = 0$

Provando o método de Sarrus

Com base neste teorema, podemos provar o método de Sarrus para calcular o determinante de uma matriz de ordem n em um conjunto K da seguinte forma:

Matrizes de Ordem 2: Seja $A=\left[\begin{array}{lr}a&b\\c&d\end{array}\right]\in M_2 (K)$. Por definição podemos dizer que o determinante de será:

$det A=a\cdot det A_{11}- b\cdot det A_{12}$

Como A₁₁ = d e A₁₂ = c, provamos o método de Sarrus, segue então que:

$det A=a\cdot d-c\cdot b$

Matrizes de Ordem 3: Seja $A=\left[\begin{array}{lcr}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]\in M_3 (K)$, o seu determinante será dado por:

$det A=a_{11}\cdot\left[\begin{array}{lr}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right]-a_{12}\cdot\left[\begin{array}{lr}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right]+a_{13}\cdot\left[\begin{array}{lr}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}\right]$

Que resultará em:

$det A=a_{11}\cdot(a_{22}a_{23}-a_{23}a_{32})-a_{12}\cdot(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}\cdot(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

Se realizarmos as operações acima, temos:

$det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

O que também prova que o método de Sarrus para calcular o determinante é uma recorrência do Teorema de Laplace.

Referências Bibliográficas:

COELHO, Flávio U; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013

LIPSON, Marc; SEYMOUR, Lipschutz. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/teorema-de-laplace/