Trigonometria do Triângulo Retângulo

Há muito tempo, medições eram realizadas de formas indiretas, principalmente referentes aos corpos celestes, vista a sua importância para a navegação, bem como para “prever o futuro” – para os crédulos. Com o estudo das relações métricas no triângulo retângulo, estas medidas se tornaram mais eficientes, mais precisas. Este será o tema deste artigo, sendo o seu debate possibilitador de novas visões matemáticas e explicitador de ferramentas matemáticas capazes de tornar viáveis os cálculos outrora impossíveis.

A semelhança de triângulos

Dados dois triângulos, por exemplo, eles serão semelhantes se obedecerem a alguns padrões. Vejam um caso de semelhança e suas relações.

• Em triângulos semelhantes o quociente entre os pares de lados correspondentes forma sempre uma razão constante.

• A razão entre o cateto menor e o cateto maior, nos dois triângulos, é igual.

• A razão entre o cateto maior e a hipotenusa é igual nos dois triângulos.

• A razão entre o cateto menor e a hipotenusa é igual nos dois triângulos.

Razões trigonométricas

Ao compararmos duas grandezas por meio de uma divisão estaremos dando sentido ao conceito de razão. A palavra razão é etimologicamente ligada ao termo ratio, que traduzido do latim significa, entre outras coisas, rateio, repartição.

Observação: as relações são dadas tomando como referência o ângulo α, destacado em amarelo.

A partir destas informações, caso tenhamos alguns ângulos e os valores dos catetos oposto e adjacente, e também da hipotenusa, poderemos encontrar os valores do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos. Em seguida mostrarei uma tabela, para consulta, contendo alguns valores de ângulos, seno e cosseno deles, deixando o valor da tangente como exercício para você, estudante.

Aplicação dos conceitos

Num triângulo retângulo, o cateto oposto a um ângulo é a quarta parte da hipotenusa. Calcule o seno e dê a medida aproximada desse ângulo, consultando a tabela acima.

• chamemos a hipotenusa de c;
• o cateto oposto, segundo o enunciado, será  ¼ c;
• vamos chamar o ângulo de α.

Veja como fica o problema em sua representação abaixo:

Sendo , podemos prosseguir da seguinte maneira:

Pela tabela anterior, sabemos que este valor é uma aproximação do seno do ângulo de 15º.

“Seja por qual for o caminho, sempre chegaremos a algum lugar”.

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
IMENES, LUIZ MÁRCIO; LELLIS, MARCELO. Matemática.  – 2 ed. –São Paulo: Moderna, 2012.