Seno

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo o Seno de um ângulo

O seno de um ângulo é a razão entre o Cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Assim, a relação seno depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo α:

$sen(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{hipotenusa}}$

$sen(\alpha) = \frac{AB}{BC}$

$sen(\alpha) = \frac{c}{a}$

Seno dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor do seno é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções:

Considere um triângulo equilátero de lado x.

$sen(30^o) = \frac{\frac{x}{2}}{x} = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

$sen(60^o) = \frac{h}{x}$

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será: $h = \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Assim:

$sen(60^0) = \frac{\frac{x\sqrt{3}}{2}}{x} = \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Para o $sen(45^o)$ teremos:

$sen(45^o) = \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$sen(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Podemos organizar a seguinte tabela:

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. O seno de mede?

$sen(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{hipotenusa}}$

$sen(\alpha) = \frac{6}{10}$

$sen(\alpha) = 0,6$

Função seno

Definimos a função seno como:

$f(x) = sen(x)$

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função seno tem imagem [-1,1], ou seja -1 ≤ sen(x) ≤ 1, para todo x real.

O seno de um ângulo sempre estará sob o eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, o seno de um ângulo será sempre positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes

Gráfico da função seno

Vamos ilustrar o gráfico da função seno. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

Exemplos

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que $sen(40^o) = 0,64$.

$sen(40^o) = \frac{x}{6}$

$0,64 = \frac{x}{6}$

$x = 6 \cdot 0,64$

$x = 3,84$

Referências bibliográficas:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/trigonometria/seno/